Геометрия материалы для практических занятий icon

Геометрия материалы для практических занятий




Скачать 185.81 Kb.
НазваниеГеометрия материалы для практических занятий
Дата15.10.2013
Размер185.81 Kb.
ТипДокументы
источник
1. /Geo pr 3.docГеометрия материалы для практических занятий


Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра высшей математики


ГЕОМЕТРИЯ



Материалы для практических занятий

II курс, 3 семестр


Екатеринбург 2012



Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Геометрия». Оно призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ.


Составители:

Толстопятов В. П., к. ф.-м. н., профессор кафедры высшей математики

Унегова Т. А., к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей математики

Дударева Н. В., к. пед. н., доцент кафедры высшей математики



ГЕОМЕТРИЯ 1

1. Программа курса 4

1. Лекции 4

2. Практические занятия 5

2. Материалы для практических занятий 6

Занятие 1-2. Аффинное n-мерное пространство. k-мерные плоскости. Взаимное расположение плоскостей 6

Занятие 3. Определения некоторых фигур аффинного пространства. Применения многомерных пространств 8

Занятие 4. Евклидово пространство 9

Занятие 5. Модели проективной плоскости и проективного пространства 10

Занятие 5-6. Модели проективной плоскости и проективного пространства. Проективные координаты. Построение точек по координатам на прямой и на плоскости 10

Занятие 7. Теорема Дезарга, её применение к решению задач элементарной геометрии 11

Занятие 8. Полный четырёхвершинник, применение его свойств к решению задач элементарной геометрии 12

Занятие 9. Проективные отображения, проективные преобразования прямых и пучков прямых 13

Занятие 10. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение 14

Занятие 11. Овальные линии. Полюсы и поляры 15

Занятие 12. Модели топологических пространств 17

Занятие 13. Различные способы задания топологических структур 18

Занятие 14. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы 19

Занятие 15. Замкнутые и открытые поверхности. Поверхности с краем 20

3. Вариант контрольной работы по проективной геометрии 22

4. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний 23

Литература 24



1. Программа курса



1. Многомерные пространства

Аффинные пространства. Евклидовы пространства.

2. Проективная геометрия

Проективные пространства. Проективные преобразования. Квадрики на проективной плоскости. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения.

3. Топология

Различные способы определения топологического пространства. Непрерывные отображения топологического пространства. Связность, компактность и отделимость как топологические инварианты. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве.

1. Лекции





  1. n-мерное аффинное (точечное) пространство. К-плоскости и их взаимное расположение.

  2. n-мерное евклидово (точечное) пространство. Полный перпендикуляр и расстояние от точки до гиперплоскости. Вычисление углов между прямой и гиперплоскостью, двумя гиперплоскостями.

  3. Проективное n-мерное пространство. Модели проективной прямой и плоскости.

  4. Проективные реперы на прямой и плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости.

  5. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

  6. Сложные отношения точек и прямых. Гармонические четверки точек и прямых в полном четырехвершиннике.

  7. Проективные отображения. Проективные преобразования. Предмет проективной геометрии.

  8. Квадрики на проективной плоскости. Полюсы и поляры.

  9. Теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона. Построение овальной квадрики по пяти точкам. Построения одной линейкой.

  10. Топологическое пространство. Индуцированная топология. Топологические подпространства.

  11. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства.

  12. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве и их классификация.



2. Практические занятия





  1. Аффинное n-мерное пространство. k-мерные плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

  2. Аффинное n-мерное пространство. k-мерные плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

  3. Определения некоторых фигур аффинного пространства. Применения многомерных пространств.

  4. Евклидово пространство.

  5. Модели проективной плоскости и проективного пространства

  6. Проективные координаты. Построение точек по координатам на прямой и на плоскости.

  7. Теорема Дезарга, её применение к решению задач элементарной геометрии

  8. Полный четырёхвершинник, применение его свойств к решению задач элементарной геометрии.

  9. Проективные отображения, проективные преобразования прямых и пучков прямых.

  10. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение

  11. Овальные линии. Полюсы и поляры.

  12. Модели топологических пространств.

  13. Различные способы задания топологических структур

  14. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы

  15. Замкнутые поверхности.



2. Материалы для практических занятий




Занятие 1-2. Аффинное n-мерное пространство. k-мерные плоскости. Взаимное расположение плоскостей


Цель занятия: Усвоить определения аффинного пространства, k-плоскости.

Задачи

  1. С помощью аксиом Вейля аффинного -мерного пространства доказать:

а) ; б) ;

в) ;

г) .

  1. Доказать, что если две точки прямой принадлежат -плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

  2. Доказать, что если прямая не параллельна гиперплоскости, то она имеет с ней единственную общую точку.

  3. Доказать, что в четырехмерном аффинном пространстве существуют две двумерные плоскости, имеющие только одну общую точку.

  4. Доказать, что для любой гиперплоскости найдется точка, ей не принадлежащая.

  5. Доказать, что двумерная плоскость, не пересекающая гиперплоскость, параллельна этой гиперплоскости.

  6. Выяснить, лежат ли точки на одной прямой.

  7. Найти уравнение 2-плоскости, проходящей через параллельно векторам , .

  8. Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей точки , и параллельной векторам и .

  9. Установить взаимное расположение плоскостей и в четырехмерном аффинном пространстве.

  10. Выяснить взаимное расположение в пятимерном аффинном пространстве плоскости
    и плоскости , проходящей через начало координат параллельно векторам , , .

  11. Выяснить расположение в четырехмерном аффинном пространстве плоскостей и , если ,


Занятие 3. Определения некоторых фигур аффинного пространства. Применения многомерных пространств


Цель занятия: Определить методом аналогии некоторые фигуры в аффинном пространстве.

Задачи

  1. Используя метод аналогии, определить понятие простого отношения трех точек прямой, понятие «лежать между», отрезок, луч, угол, -мерный параллелепипед.

  2. Транспортная задача. На три завода нужно завезти сырье одинакового вида в количестве соответственно 10, 15 и 20 тонн. Сырье хранится на двух складах в количестве 20 и 25 тонн. Расстояния от первого склада до заводов равны соответственно 5, 7 и 10 км, а от второго склада – 3, 4 и 6 км. Найти наиболее выгодный вариант перевозок (то есть общее количество тонно-километров будет наименьшим).

  3. Задача о диете. Пусть для дневной нормы питания необходимо -го вещества (белков, жиров, углеводов и т.д.), . Пусть имеется видов продуктов по цене за единицу -го продукта, . Известно, что в единице го продукта содержится единиц -го вещества. Определить наиболее выгодный вариант приобретения продуктов, обеспечивающий дневное содержание -го вещества.

  4. Задача о наилучшем использовании посевной площади. Пусть имеется сельскохозяйственных культур и земельных участков площадью , . Известно, что средняя урожайность -й культуры на -м участке составляет центнеров, а выручка за один центнер -й культуры составляет рублей. Какую площадь на каждом участке отвести под каждую культуру, чтобы получить максимальную прибыль, при условии что должно быть собрано не менее -й культуры?



Занятие 4. Евклидово пространство


Цель занятия: Усвоить понятие евклидова пространства.

Задачи

  1. Вычислить координаты ортогональной проекции точки на гиперплоскость .

  2. Найти ортогональную проекцию точки на прямую .

  3. В четырехмерном евклидовом пространстве найти проекцию точки на плоскость .

  4. Найти проекцию точки на плоскость .



Занятие 5. Модели проективной плоскости и проективного пространства




Занятие 5-6. Модели проективной плоскости и проективного пространства. Проективные координаты. Построение точек по координатам на прямой и на плоскости


Задачи

  1. Построить точку по ее координатам в заданном репере на расширенной прямой.

  2. На расширенной прямой даны точки , . Построить единичную точку проективного репера , если несобственная точка прямой имеет координаты (-1,2).

  3. На расширенной плоскости построить точку по её координатам в заданном репере. Рассмотреть случаи, когда одна или две точки репера являются несобственными.

  4. Найти координаты проективной прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами.

  5. На расширенной плоскости построить прямую, заданную координатами.



Занятие 7. Теорема Дезарга, её применение к решению задач элементарной геометрии


Задачи

  1. Определить фигуры, двойственные а) множеству всех точек, лежащих на одной прямой (прямой); б) пучку прямых; в) отрезку прямой; г) трехвершиннику

  2. Доказать теорему Дезарга.

  3. В евклидовой плоскости даны треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие – смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.

  4. На евклидовой плоскости вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что центры симметрий этих параллелограммов совпадают.

  5. На евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, основания которой параллельны диагонали четырехугольника. Доказать, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются на прямой, содержащей другую диагональ четырехугольника.

  6. Пользуясь одной линейкой, провести прямую через данную точку и недоступную точку пересечения данных прямых.

  7. Пользуясь только линейкой, через данную точку провести прямую, параллельную данным параллельным прямым.

  8. На евклидовой плоскости дан параллелограмм и точка, лежащая на прямой, содержащей одну из сторон параллелограмма. Пользуясь одной линейкой, провести через эту точку прямую, параллельную данной прямой.

  9. На евклидовой плоскости даны параллелограмм, прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Пользуясь одной линейкой, через эту точку провести прямую, параллельную данной прямой.



Занятие 8. Полный четырёхвершинник, применение его свойств к решению задач элементарной геометрии


Задачи

  1. На евклидовой прямой даны точки , такие, что . Найти сложные отношения .

  2. Определить проективные координаты середины отрезка в репере на расширенной прямой.

  3. Пользуясь одной линейкой, разделить данный отрезок пополам, если дана прямая, параллельная этому отрезку.

  4. Дан отрезок с отмеченной серединой. Пользуясь одной линейкой, провести через данную точку прямую параллельную .

  5. Даны две различные параллельные прямые. Пользуясь одной линейкой, через данную точку вне этих прямых провести прямую им параллельную.

  6. Пользуясь одной линейкой, удвоить (утроить, учетверить, . . .) данный отрезок, если дана прямая, параллельная этому отрезку.

  7. Пользуясь одной линейкой, разделить данный отрезок на три (пять, семь, . . .) равные части, если дана прямая, параллельная отрезку.

  8. Даны окружность, ее диаметр. Пользуясь одной линейкой, провести из данной точки перпендикуляр к диаметру.

  9. Даны окружность, её центр и хорда.. Пользуясь одной линейкой, разделить хорду пополам.

  10. Даны окружность и её центр. Пользуясь одной линейкой, через точку, не лежащую на данной окружности, провести прямую, параллельную данной прямой.



Занятие 9. Проективные отображения, проективные преобразования прямых и пучков прямых


Задачи

  1. Проективное отображение прямой на прямую задано тремя парами соответствующих точек. Построить образ произвольной точки прямой.

  2. Используя принцип двойственности, дать определение проективного отображения пучка на пучок, сформулировать теорему о задании проективного отображения пучка на пучок, признак перспективности проективного отображения пучка на пучок, построить образ произвольной прямой пучка при заданном проективном отображении пучка на пучок.

  3. Проективное преобразование прямой задано тремя парами соответствующих точек. Построить образ произвольной точки прямой.



Занятие 10. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение


Задачи

  1. Доказать, что композиция проектирования расширенной прямой на окружность из точки окружности и проектирования окружности на эту же расширенную прямую из другой точки окружности, является проективным преобразованием расширенной прямой.

  2. (Задача Штейнера). С помощью циркуля и линейки построить неподвижные точки проективного преобразования расширенной прямой, заданного тремя парами соответствующих точек.

  3. На евклидовой плоскости даны две прямые и и две точки и , не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой построить на прямой такую точку , что прямые и высекают на прямой отрезок:

а) имеющий данную длину ;

б) делящийся пополам в данной точке на прямой .

  1. На евклидовой плоскости даны окружность и две хорды и . Циркулем и линейкой построить на окружности такую точку, чтобы прямые и высекали на отрезок:

а) имеющий данную длину ;

б) делящийся пополам в данной точке хорды .

  1. Циркулем и линейкой построить на данной прямой отрезок указанной длины, который виден из данной точки под данным углом.

  2. Даны две прямые и две точки, им не принадлежащие. Пользуясь циркулем и линейкой, построить по точке на каждой из прямых так, чтобы отрезок, определяемый этими точками, был виден из одной данной точки под углом , а из другой данной точки углом .



Занятие 11. Овальные линии. Полюсы и поляры


Задачи

  1. Доказать, что прямая , построенная на рисунке, является полярой точки относительно эллипса.









  1. На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить поляру данной точки относительно этого эллипса в случае: а) точка находится на эллипсе; б) точка является внутренней точкой относительно эллипса; в) точка является внешней точкой относительно эллипса; г) точка является несобственной точкой некоторой данной прямой.

  2. На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить полюс данной прямой относительно данного эллипса в случае а) прямая пересекает эллипс в двух различных вещественных точках; б) прямая касается эллипса; в) прямая пересекает эллипс в двух мнимых комплексно-сопряженных точках; г) прямая − несобственная прямая расширенной плоскости.

  3. Пользуясь одной линейкой, через точку вне круга провести касательную к окружности этого круга.



Занятие 12. Модели топологических пространств


Задачи

  1. Дана евклидова плоскость с естественной топологией. Определите, какая топология индуцируется a) на прямой; b) на полуинтервале; c) на квадрате, понимаемом как часть плоскости; d) на множестве, состоящем из трех различных точек.

  2. Дана евклидова плоскость. Открытым кругом с центром и радиусом называется множество всех точек плоскости, находящихся от точки на расстоянии, меньшем . Доказать, что множество всех открытых концентрических кругов, вместе с пустым множеством и самой плоскостью образует топологическую структуру.

Определите, какая топология индуцируется a)на множестве, состоящем из одной точки , отличной от ; b).на прямой, не проходящей (проходящей) через .

  1. Пусть дана аффинная плоскость и на ней прямая . Доказать, что пустое множество и все фигуры, которые вместе с каждой своей точкой содержат прямую, параллельную , образуют топологическую структуру.

Определите, какая топология индуцируется на прямой m, если a) m параллельна ; b) m не параллельна .

  1. Дано множество, содержащее бесконечное число элементов. Доказать, что пустое множество и все множества, дополнения которых конечны, образуют на данном множестве топологическую структуру (топология Зарисского).

  2. Найти все топологии во множестве из двух (трех) элементов.



Занятие 13. Различные способы задания топологических структур


Задачи

  1. Докажите, что топологическую структуру на множестве можно задать с помощью системы подмножеств множества , удовлетворяющих условиям:

а) пустое множество и само принадлежат этой системе множеств;

б) объединение конечного числа множеств этой системы принадлежит этой системе множеств;

в) пересечение любого числа множеств этой системы так же принадлежит этой системе множеств.

  1. Докажите, что задание на множестве операции замыкания определяет на этом множестве топологическую структуру.

  2. Докажите, что задание на множестве операции взятия внутренности определяет на этом множестве топологическую структуру.



Занятие 14. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы


Задачи

  1. Докажите, что любые два интервала и гомеоморфны.

  2. Докажите, что интервал и числовая ось гомеоморфны.

  3. Докажите, что полуокружность без концов и прямая линия гомеоморфны.

  4. Докажите, что сфера гомеоморфна поверхности куба.

  5. Докажите, что проколотая сфера (то есть сфера, лишенная одной точки) гомеоморфна плоскости.

  6. Докажите, что открытое кольцо гомеоморфно цилиндру.

  7. Пусть координатная плоскость отображается на себя с помощью отображения , которое каждой точке ставит в соответствие точку , если и точку , если . Докажите, что отображение разрывно в каждой точке прямой и непрерывно во всех остальных точках.

  8. Пусть квадрат отображается на свою сторону с помощью ортогонального проектирования . Определите, будет ли гомеоморфизмом.

  9. Определите, будет ли гомеоморфизмом ортогональное проектирование точек окружности на один из ее диаметров.

  10. Дан полуинтервал и окружность единичного радиуса. На окружности фиксирована точка и выбрано положительное направление обхода. Отображение будем называть навиванием полуинтервала на окружность, если и каждой точке сопоставляется точка такая, что величина дуги равна . Является ли топологическим отображением?

  11. На евклидовой плоскости с естественной топологией рассматривается отрезок длины 1, но без концов (назовем его «интервалом»). Второй равный ему «интервал» изогнут так, что точка совпадает с его серединой. Так как , то можно задать отображение сопоставляющее соответствующие точки этих «интервалов». Докажите, что отображение не является гомеоморфизмом.



Занятие 15. Замкнутые и открытые поверхности. Поверхности с краем


Задачи

  1. Простая компактная поверхность называется замкнутой. В противном случае простая поверхность называется открытой. Дайте определение открытой поверхности.

  2. Определите, какие из 17 поверхностей второго порядка являются замкнутыми, какие открытыми, а какие не являются ни теми, ни другими.

  3. Определите эйлерову характеристику

  1. замкнутого круга;

  2. замкнутого кольца;

  3. боковой поверхности n-угольной призмы;

  4. боковой поверхности n-угольной пирамиды;

  5. сферы;

  6. сферы с тремя дырками.

  1. Докажите, что сфера с одним листом Мёбиуса является неориентируемой замкнутой поверхностью.

  2. Докажите, что сфера с одной ручкой является ориентируемой замкнутой поверхностью.

  3. Докажите, что замкнутое кольцо и ручка топологически эквивалентны

  4. Докажите, что замкнутое кольцо и сфера с двумя дырками топологически эквивалентны.

  5. Определите, имеют ли сфера с одним листом Мёбиуса и проективная плоскость один и тот же топологический тип.

  6. Определите, имеют ли сфера с одной ручкой и тор один и тот же топологический тип.

  7. Определите, имеют ли бутылка Клейна и сфера с двумя листами Мёбиуса один и тот же топологический тип.



3. Вариант контрольной работы по проективной геометрии


  1. На проективной плоскости постройте точку

  2. Через данную точку и недоступную точку пересечения двух прямых провести прямую, пользуясь только линейкой.

  3. Сформулируйте утверждение, двойственное к утверждению «Через любые две различные точки проходит единственная прямая».

  4. Напишите уравнение проективной прямой, проходящей через точки и .

  5. Найдите точку пересечения проективных прямых

  6. Проверьте, лежат ли точки , , , на одной прямой. В случае положительного ответа найдите сложное отношение этих точек.

  7. Найдите преобразование проективной прямой, при котором точки переходят соответственно в точки

  8. Дано проективное преобразование проективной плоскости .

Найдите:

    1. образ и прообраз точки

    2. инвариантные точки преобразования.



4. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний


  1. Дан правильный шестиугольник . – точка пересечения его диагоналей. Сумма векторов равна

    1. ; b) ; c) ; d) ; e) .

  2. Векторное произведение векторов и , координаты которых заданы относительно ортонормированного базиса, равно:

    1. ; b) ; c) ; d) ; e) .

  3. Заданы точки и . Найдите координаты точки такой, что .

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

  1. Общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид

    1. ; b) ; c) ;
      d) ; e) .

  2. Относительно аффинной системы координат уравнение задает

    1. эллипс; b) гиперболу; c) параболу; d) мнимый эллипс; e) пару пересекающихся прямых.

  3. В треугольнике и – медианы. Найдите координаты вектора в базисе .

  4. Составьте уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых и .

  5. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его малая ось равна 6, а расстояние между фокусами равно 8.

  6. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения прямых, содержащих соответственно две его стороны и одну из его диагоналей: , , .

  7. Составьте уравнение множества всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до точки в два раза больше расстояния до прямой .



Литература


  1. Атанасян, Л.С. Геометрия, Ч. 2 / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. − М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

  2. Базылев, В.Т. Геометрия, Ч. 2 / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. – М.: Просвещение, 1975. − 367 с.

  3. Горшкова, Л.С. Проективная геометрия / Л.С. Горшкова, В.И. Паньженский, Е.В. Марина. – М.: Изд. ЛКИ, 2007. – 168 с.

  4. Гуревич, Г.Б. Проективная геометрия / Г.Б. Гуревич. − М., 1960. – 317 с.

  5. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В. Ефимов. – М.: Наука, 1978. – 280 с.

  6. Комиссарук, А.М. Проективная геометрия в задачах [Текст] / А.М. Комиссарук. – Минск, 1971. – 319 с.

  7. Певзнер, С.Л. Проективная геометрия / С.Л. Певзнер. − М.: Просвещение, 1980. – 216 с.

  8. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии, Ч. 2 / В.В. Прасолов. – М., 1991. – 239 с.

  9. Проективные факты в решении элементарно-геометрических задач. Методическая разработка / Сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург:УрГПУ, 2000. – 42 с.

  10. Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. – М.: Просвещение, 1953. − 367 с.

  11. Щербаков, Р.Н. От проективной геометрии к неевклидовой / Р.Н. Щербаков, Л.Ф. Пичурин. – М., 1979. – 158 с.



Учебно-методическое издание


Геометрия.

Материалы для практических занятий.

II курс, 3 семестр


Составители:

Толстопятов В. П., к. ф.-м. н., доцент, профессор кафедры высшей математики

Унегова Т. А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики

Дударева Н. В., ., к. пед. н., доцент, доцент кафедры высшей математики


Геометрия

Материалы для практических занятий

II курс, 3 семестр


Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. Печ. л. 1,5

Тираж 100 экз. Заказ

Уральский государственный педагогический университет

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26


Добавить в свой блог или на сайт



Похожие:

Геометрия материалы для практических занятий iconЗанятия Содержание практических занятий по дисциплине элементарная математика: модуль 2: геометрия
Игошин В. И. Тетрадь по геометрии для 7-9 классов. Геометрические построения на плоскости. Геометрические преобразования плоскости...

Геометрия материалы для практических занятий iconКалендарно-тематический план лабораторно-практических занятий для российских студентов
Основные формы организации и методы проведения лабораторно- практических занятий

Геометрия материалы для практических занятий iconПрактикум для студентов медицинских вузов
В данном учебно-методическом пособии содержатся материалы для проведения практических занятий по медицинской психологии. Приводятся...

Геометрия материалы для практических занятий iconПрактикум для студентов медицинских вузов
В данном учебно-методическом пособии содержатся материалы для проведения практических занятий по медицинской психологии. Приводятся...

Геометрия материалы для практических занятий iconКалендарно-тематический план лабораторно-практических занятий для российских студентов
Знакомство с задачами курса биологии, организация лабораторно-практических занятий. Формы самостоятельной работы студентов

Геометрия материалы для практических занятий iconПрактическая работа с документами на уроке истории в старших классах
Ведущей дидактической целью практических занятий является формирование практических умений. В системе учебных занятий по повышению...

Геометрия материалы для практических занятий iconПрактикум для проведения практических занятий на пэвм
Техника валютных операций. Практикум для проведения практических занятий на пэвм. Для студентов, обучающихся по специальности по...

Геометрия материалы для практических занятий icon«Алтайский государственный университет» Кафедра гражданского права Планы семинарских/практических занятий по учебной дисциплине «Гражданско-правовое положение несовершеннолетних»
Планы семинарских/практических занятий составлены канд юрид наук, доцентом кафедры гражданского права Алтгу с. В. Букшиной

Геометрия материалы для практических занятий iconПрактикум по дисциплине для проведения практических занятий
Практические занятия служат для углубленного изучения материала дисциплины и приобретения соответствующих практических навыков

Геометрия материалы для практических занятий iconМетодические указания по выполнению практических заданий при проведении практических занятий для студентов V курса специальности "Маркетинг". М.: Взфэи, 2006
При изучении дисциплины в логической последовательности будут рассмотрены 8 тем, а именно

Геометрия материалы для практических занятий iconПрактикум для проведения практических занятий по дисциплинам кафедры права
Практикум для проведения практических занятий по дисциплинам кафедры права одобрен на заседании Научно-методического совета зфэи

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©urf.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы